連立方程式 x+xy+y=−5 と x³+y³=19 の解法: 整数解 x, y (x > y) の求め方

この問題では、連立方程式 x + xy + y = -5 と x³ + y³ = 19 を満たす整数解 x, y (x > y) を求めます。この記事では、解法のステップをわかりやすく解説します。

問題の整理

与えられた連立方程式は次の通りです。

1. x + xy + y = -5

2. x³ + y³ = 19

まず、この2つの式を解くためのアプローチを考えます。整数解を求める場合、場合分けや代入法を使って解く方法が有効です。

ステップ1: x + xy + y = -5 の式を整理

最初の式 x + xy + y = -5 を整理します。

x + y + xy = -5 の形にすることができます。

この式を次のように因数分解します。

(x + 1)(y + 1) = -4

これで x + 1 と y + 1 の積が -4 であることがわかります。したがって、x + 1 と y + 1 の組み合わせで -4 を作る整数ペアを考えます。

ステップ2: (x + 1)(y + 1) = -4 を解く

整数の組み合わせとして、(x + 1) と (y + 1) のペアは以下のようになります。

• (x + 1, y + 1) = (-1, 4)
• (x + 1, y + 1) = (1, -4)
• (x + 1, y + 1) = (-2, 2)
• (x + 1, y + 1) = (2, -2)

これらの組み合わせを使って x と y の値を求めます。

ステップ3: x³ + y³ = 19 を満たす組み合わせを検討

次に、x³ + y³ = 19 を満たす組み合わせを検討します。上記で求めた (x + 1, y + 1) の各ペアに対応する x, y の組み合わせを試します。

• (x + 1, y + 1) = (-1, 4) の場合: x = -2, y = 3 → x³ + y³ = (-2)³ + 3³ = -8 + 27 = 19 → 成立
• (x + 1, y + 1) = (1, -4) の場合: x = 0, y = -5 → x³ + y³ = 0³ + (-5)³ = 0 – 125 = -125 → 成立せず
• (x + 1, y + 1) = (-2, 2) の場合: x = -3, y = 1 → x³ + y³ = (-3)³ + 1³ = -27 + 1 = -26 → 成立せず
• (x + 1, y + 1) = (2, -2) の場合: x = 1, y = -3 → x³ + y³ = 1³ + (-3)³ = 1 – 27 = -26 → 成立せず

したがって、(x + 1, y + 1) = (-1, 4) の場合、x = -2, y = 3 が正しい解であることが確認できます。

まとめ

連立方程式 x + xy + y = -5 と x³ + y³ = 19 を満たす整数解は、x = -2, y = 3 です。この解を得るために、まずは x + y + xy = -5 の式を整理し、次に x + 1 と y + 1 の積が -4 である整数ペアを求め、最終的に x³ + y³ = 19 を満たす解を確認しました。