関数 y = -x^2 + 4ax – a の最小値を求める問題では、関数のグラフの形状や頂点の位置を利用する方法が有効です。この記事では、この関数の最小値を求めるためのステップを詳しく解説します。
関数 y = -x^2 + 4ax – a の理解
まず、与えられた関数 y = -x^2 + 4ax – a を確認しましょう。この関数は、x に関する2次関数です。2次関数は一般的に、グラフが放物線を描く特徴がありますが、係数が -x^2 であるため、放物線は上に凸ではなく下に凸になります。
この関数の最小値を求めるためには、まずこの関数がどのような形で最小値を取るかを理解することが重要です。
2次関数の最小値を求める方法
2次関数の最小値または最大値を求める方法は、頂点の座標を求めることです。2次関数 y = ax^2 + bx + c の場合、頂点のx座標は -b / 2a で与えられます。
この関数の場合、-x^2 + 4ax – a の x に関する係数を比較して、頂点のx座標を求めます。関数の係数は次のようになります。
- a = -1（x^2の係数）
- b = 4a（xの係数）
- c = -a（定数項）
したがって、頂点のx座標は -b / 2a = -4a / (2 * -1) = 2a となります。このx座標を使って、最小値を求めることができます。
最小値の計算
次に、x = 2a の時の関数の値を求めます。関数 y = -x^2 + 4ax – a に x = 2a を代入します。
y = -(2a)^2 + 4a(2a) – a = -4a^2 + 8a^2 – a = 4a^2 – a となります。
これが関数の最小値です。したがって、最小値は y = 4a^2 – a となります。
まとめ
関数 y = -x^2 + 4ax – a の最小値を求めるためには、まず頂点のx座標を計算し、そのx座標に代入して最小値を求めます。最終的に、最小値は y = 4a^2 – a であり、これがこの関数の最小値となります。
2次関数の最小値を求める方法を理解することで、他の2次関数の問題にも対応できるようになります。
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