三角関数の合成と最大・最小値の求め方

三角関数の問題で、f(θ) = 3sin(θ) – 2cos(θ) の最大値と最小値を求める方法について解説します。合成を使って解く過程と、sinαとcosαの計算方法を詳しく見ていきます。

関数の合成

まず、f(θ) = 3sin(θ) – 2cos(θ) を合成します。この式を次のように変形できます。

f(θ) = √13 sin(θ + α) の形にするために、係数 3 と -2 を用いて合成します。

合成の式における α を求めるには、以下の関係を使います。

3 = √13 cos(α)

-2 = √13 sin(α)

これを使って、cosα と sinα の値を求めます。

次に、cosα と sinα を求める方法を詳しく解説します。

まず、cos²α + sin²α = 1 という基本的な三角恒等式を利用します。

cosα = 3/√13 と sinα = -2/√13 であるため、これを確認します。

(3/√13)² + (-2/√13)² = 9/13 + 4/13 = 1

これで、sinα = -2/√13 と cosα = 3/√13 が正しいことが確認できます。

次に、α の範囲について説明します。α の値は sinα = -2/√13 であるため、-π/2 < α < 0 の範囲である必要があります。

これは、sinが負の値を取るため、α の角度が第4象限に位置するからです。

最後に、f(θ) の最大値と最小値を求めます。合成後の式は f(θ) = √13 sin(θ + α) となり、最大値と最小値は sin(θ + α) が 1 と -1 の時にそれぞれ求められます。

したがって、最大値は √13 × 1 = √13 、最小値は √13 × -1 = -√13 です。

まとめると、f(θ) = 3sin(θ) – 2cos(θ) の最大値と最小値を求める方法は、関数を合成して sinα と cosα を計算し、その後、最大値と最小値を求めることで解決できます。最終的に、最大値は √13、最小値は -√13 となります。