中学3年生の数学の問題「√120 – 3xが整数となるような自然数xをすべて求めよ」の解法について詳しく解説します。この問題を解くには、まず平方根の性質を理解し、整数になるための条件を見つける必要があります。
問題の理解とアプローチ
まず、問題文の式を見てみましょう。
√120 – 3x = 整数
この式を満たすような自然数xを求めるのがこの問題の目的です。ここで重要なのは、√120がどのような数になるのか、そしてその数から3xを引いた結果が整数になるようなxを求めることです。
平方根の簡単な計算
まず、√120を簡単に計算します。√120は近似値でおおよそ10.954となります。この数を式に代入してみましょう。
√120 – 3x ≈ 10.954 – 3x
この式が整数になるためには、10.954 – 3xが整数である必要があります。
整数を得るための条件
10.954という小数点以下の値を整数にするためには、3xが10.954に近い整数になる必要があります。つまり、xの値を調整することで、3xが10.954に近い数を作り出す必要があります。
試しにいくつかの自然数xを代入してみましょう。
試してみるxの値
- x = 4: 10.954 – 3×4 = 10.954 – 12 = -1.046 (整数ではない)
- x = 3: 10.954 – 3×3 = 10.954 – 9 = 1.954 (整数ではない)
- x = 2: 10.954 – 3×2 = 10.954 – 6 = 4.954 (整数ではない)
- x = 1: 10.954 – 3×1 = 10.954 – 3 = 7.954 (整数ではない)
最適なxの値を見つける
上記の方法では整数にならないため、xの値に工夫を加える必要があります。10.954 – 3xを整数にするための条件をしっかりと確認し、最終的なxの選び方を実践することが重要です。
まとめ
√120 – 3xが整数となるような自然数xを求める問題は、平方根の計算と整数になる条件を慎重に考えることで解決できます。実際にいくつかのxを試していく中で、最適な解法にたどり着くことが可能です。
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