今回は、数式「sinx/x³ – x/sin³x （x → 0）」の極限値を求める方法について解説します。具体的な計算手順とともに、極限の取り扱い方を理解することで、同様の問題にも応用できるようになるでしょう。
問題の確認と式の整理
まずは、与えられた式「sinx/x³ – x/sin³x」を確認します。この式の極限を求めるためには、x が 0 に近づくときの挙動を理解する必要があります。x → 0 のとき、両項はそれぞれ 0/0 の形となり、直接計算することはできません。
このため、リミットの計算にはリミットの定理やテイラー展開を活用するのが効果的です。
テイラー展開を利用した解法
テイラー展開を使うことで、sin(x) を 0 近くで展開できます。sin(x) のテイラー展開は、x → 0 のとき次のように近似できます。
sin(x) ≈ x – x³/6 + O(x⁵)
この近似を用いることで、sin(x)/x³ と x/sin³(x) をそれぞれ計算できます。
計算の手順
次に、与えられた式の各項をテイラー展開を使って近似し、極限を求めていきます。
まず、sin(x)/x³ の項に関して、sin(x) ≈ x – x³/6 を代入します。これにより、この項は次のようになります。
sin(x)/x³ ≈ (x – x³/6)/x³ = 1/x² – 1/6
次に、x/sin³(x) の項について、sin³(x) ≈ x³ – 3x⁵/6 + O(x⁷) を代入します。これにより、x/sin³(x) は次のように近似されます。
x/sin³(x) ≈ x/(x³ – 3x⁵/6) = 1/x² + O(x⁴)
極限の計算結果
両方の項を求めた後、式を整理して x → 0 の極限を取ると、最終的に以下の結果が得られます。
lim (x → 0) (sin(x)/x³ – x/sin³(x)) = -1/6
まとめ
この問題では、テイラー展開を使って sin(x) を近似し、与えられた式の極限を求める方法を解説しました。テイラー展開は x → 0 の近似に非常に有効な手段であり、同様の問題においても広く利用されます。極限を求める際には、近似式を適切に利用して計算することがポイントです。
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