不等式の同時解法：x^2 + y^2 - 2x + 4y < 4 と 2y - x + 3 ≧ 0 の整数解

この問題では、2つの不等式「x^2 + y^2 – 2x + 4y < 4」と「2y - x + 3 ≧ 0」を満たす整数の組(x, y)を求める方法を解説します。また、範囲 -2 < x < 4 の意味についても触れ、どのようにして解を求めるかを説明します。

不等式の解法の基本

まず、2つの不等式を整理して理解しやすくします。不等式を解く方法にはいくつかありますが、まずは変形して式をシンプルにすることが大切です。

「x^2 + y^2 – 2x + 4y < 4」を整理していきます。これを平方完成の方法を使って変形していきます。

まず、「x^2 – 2x」を平方完成すると、「(x – 1)^2」となります。同様に、「y^2 + 4y」も平方完成を使って、「(y + 2)^2」となります。よって、式は以下のように変形されます。

(x – 1)^2 + (y + 2)^2 < 9

この式は、中心(1, -2)で半径3の円の内部を示しています。この円の内部にある整数点を求める必要があります。

次に、「2y – x + 3 ≧ 0」を解きます。この不等式は、yについて解くと、以下のようになります。

y ≧ (x – 3)/2

この不等式は、yが(x – 3)/2以上である必要があることを示しています。

xの範囲が -2 < x < 4 であることが示されています。この範囲内で整数解を求めるため、xの値を -1, 0, 1, 2, 3 の5つの整数に限定して、それぞれのxに対してyの値を求めていきます。

y ≧ (-1 – 3)/2 = -2 なので、y ≧ -2 となります。

y ≧ (0 – 3)/2 = -1.5 なので、y ≧ -1となります。

y ≧ (1 – 3)/2 = -1 なので、y ≧ -1 となります。

y ≧ (2 – 3)/2 = -0.5 なので、y ≧ 0 となります。

y ≧ (3 – 3)/2 = 0 なので、y ≧ 0 となります。

各xの値に対して、yの範囲を求め、xとyの組み合わせを求めることで、解が得られます。具体的には、以下のような整数の組(x, y)が求められます。

これらの組み合わせを元に解を整理し、問題を解決することができます。