xy平面上の領域と直線の共有点に関する最小z値の求め方

高校数学の問題で、xy平面上の二次不等式と直線が共有点を持つための条件を求める問題です。特に、直線のz値の最小値を求める方法について解説します。具体的な手順と計算を通じて、解を導く方法を理解しましょう。

問題の確認と式の整理

与えられた二次不等式は次の通りです。

1. (1/4)x² ≧ y

2. 2x² – 7 ≧ y

これらはxy平面上で領域を形成します。さらに、直線の方程式は次のように与えられています。

3. ax + y + a² – z = 0（aは正の定数）

この直線が与えられた領域と共有点を持つようなzの最小値を求めるのが本問題の目的です。

まずは、二次不等式で表される領域の形状を理解しましょう。1つ目の不等式「(1/4)x² ≧ y」は、x軸に対して放物線の下側の領域を示します。2つ目の不等式「2x² – 7 ≧ y」は、別の放物線で、こちらも下側の領域を形成します。

これらの不等式が交わる領域に直線が接する点があることが条件です。直線の位置とその傾きにより、共有点を持つための条件が変化します。

直線が領域と共有点を持つためには、直線のz値が一定の範囲に収束する必要があります。問題文から示されている通り、zの最小値はaに依存します。

まず、直線が領域と1点で交わる場合、接点を求めることが重要です。接点を求めるためには、領域の境界線と直線が1点で交わる条件を満たす必要があります。この条件を解くことで、zの最小値が求まります。

解法は、与えられた条件に基づいて計算を行います。

1. a ≧ 8のとき、zの最小値は (a-1)² となります。

2. 0 < a < 8のとき、zの最小値は (7/8)a² - 7 となります。

これらの式は、それぞれのaの範囲に対するzの最小値を示しており、aの値によって異なる計算式が適用されます。

この問題では、二次不等式で表される領域と直線の交点を求めることで、zの最小値を求めました。aの値によってzの最小値が異なり、具体的な範囲に基づいた計算が必要です。数学的な条件を整理し、解を導くためには慎重に計算を進めることが重要です。