写像fとgの性質：fが単射でg⚪︎fが単射でない例の解説

この問題は、写像f: X → Y と g: Y → Z に関する性質についての問題です。具体的には、fが単射であるときに、合成写像g⚪︎fが単射でない例を示すことが求められています。ここでは、この問題をどのように解決するかを段階的に説明します。

単射とは？

単射（Injection）とは、異なる元が異なる像を持つ写像のことです。つまり、もしf(x₁) = f(x₂) ならば、x₁ = x₂ となる写像です。これにより、fは元を一意に対応させることができます。

合成写像の単射性

合成写像g⚪︎fは、g(f(x))であり、fとgが組み合わさった写像です。この合成写像が単射でないとは、異なる元x₁, x₂ ∈ X に対してg(f(x₁)) = g(f(x₂)) となり、x₁ ≠ x₂ である場合を意味します。つまり、fが単射であっても、gの特性によってg(f(x₁))とg(f(x₂))が一致してしまうことがあります。

具体的な例：fが単射でg⚪︎fが単射でない例

例えば、X = {1, 2}, Y = {a, b}, Z = {A, B} とし、次のような写像を考えます。

• f: X → Y, f(1) = a, f(2) = b（fは単射）
• g: Y → Z, g(a) = A, g(b) = A（gは単射でない）

この場合、fは単射ですが、g(f(1)) = g(f(2)) = A となり、g⚪︎fは単射でなくなります。なぜなら、f(1) ≠ f(2) でありながら、g(f(1)) = g(f(2)) という関係が成り立つからです。

まとめ

fが単射であっても、gの性質によってg⚪︎fが単射でない場合があることがわかりました。このような問題では、gの特性が合成写像の単射性に大きな影響を与えることを理解することが重要です。