中学3年生の因数分解の解法：x² – 4y² – 4y – 1を解説

中学3年生の因数分解の問題、x² – 4y² – 4y – 1の解き方について、なぜ(x + 2y + 1)(x – 2y – 1)という形になるのかを解説します。因数分解は少し難しく感じるかもしれませんが、解き方のステップを順を追って説明していきます。

1. 与えられた式を確認しよう

まず最初に問題文を確認しましょう。与えられた式はx² – 4y² – 4y – 1です。ここで注目すべきは、x²という項とyに関する項が混在している点です。これを因数分解するためには、まず式を整理することが大切です。

2. 完全平方を見つける

次に、式の中で「完全平方」の形を探します。特にx²とy²に注目しましょう。-4y²と-4yの部分を整理するために、yに関連した項をくくり出します。このステップで、-4y² – 4yの部分が平方完成を使って-4(y + 1)²に変形できることに気づくでしょう。

3. 因数分解を試みる

式が少し整理できたところで、次に因数分解を試みます。これを進めるためには、x²と-4(y + 1)²の組み合わせを使って、合成した形を見つけます。この形が、(x + 2y + 1)(x – 2y – 1)に繋がる理由です。具体的に計算してみると、この式が元の式に一致することが確認できます。

4. 因数分解の結果を確かめよう

ここまでの操作で、(x + 2y + 1)(x – 2y – 1)という因数分解にたどり着きました。この式を展開すると、元の式x² – 4y² – 4y – 1と一致することが分かります。これで因数分解が正しいことが確認できました。

5. まとめ

中学3年生の因数分解問題であるx² – 4y² – 4y – 1は、平方完成を使って整理した後、因数分解の形にすることができました。式を順を追って整理し、適切なステップを踏むことで、難しい問題も解くことができます。今回は(x + 2y + 1)(x – 2y – 1)という形が正しい因数分解であることが分かりました。数学は練習を重ねることで理解が深まりますので、同様の問題を繰り返し解いてみましょう。