三角関数の問題、特に合成を使った解法のテクニックは非常に有効です。この記事では、√3sin2x – cos2x = -√2という方程式を解く方法について、X軸とY軸を使って三角形を描きながら合成の方法で解くアプローチを説明します。
問題の理解と解法のアプローチ
まず、問題に取り組む前に与えられた方程式を再確認しましょう。
与えられた方程式は、√3sin2x – cos2x = -√2です。この方程式を解くためには、三角関数の合成を使って簡単に解くことができます。
合成とは、複雑な三角関数の式を一つの三角関数にまとめる方法で、ここでは特にX軸、Y軸を使って図形的に合成を行います。
合成の方法：三角形を使って解く
合成を行うために、まず以下のように計算式を考えます。
式の形は Rsin(2x + θ) としたいので、次のような関係式を設定します。
√3sin2x – cos2x = Rsin(2x + θ)
ここで、Rとθを求めるために、三角関数の加法定理を使用して、X軸、Y軸を使って三角形を作成します。計算式から、Rとθの値を求めるためには、まずRを求めます。Rは、以下のように計算できます。
R = √(√3² + (-1)²) = √(3 + 1) = √4 = 2
次に、θの値を求めます。θは、tanθ = -1/√3 より、θ = -π/6 となります。
方程式の解法
ここまでで、式が 2sin(2x – π/6) という形に整理されました。次に、この式を使って元の方程式を解きます。具体的には、次のように進めます。
2sin(2x – π/6) = -√2
両辺を2で割って、sin(2x – π/6) = -√2/2 となります。
sin(2x – π/6) = -√2/2 の解を求めると、2x – π/6 = 7π/4 + 2nπ または 2x – π/6 = 5π/4 + 2nπ となります。これを解くことで、xの値を求めることができます。
まとめ
このように、三角関数の合成を使うことで複雑な三角関数の方程式を解くことができます。X軸とY軸を使って三角形を描き、Rとθを求めることで解法が簡単になり、実際の計算を進めることができます。今回は、√3sin2x – cos2x = -√2という方程式を解くための一つのアプローチを紹介しましたが、他にもさまざまな方法があるので、理解を深めるために他の問題にも挑戦してみてください。
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