「mを実数とする。全ての実数xに対してmx^2 + (m-2)x + (m-2) < 0が成り立つ時、m<◻︎」という問題について、なぜ条件にd<0以外にm<0が出てくるのかという疑問を持つ方が多いです。この問題を解くためには、不等式の成立条件を詳しく理解することが重要です。この記事では、この問題の背景と、なぜm<0が出てくるのかについて解説します。
不等式の解析とmの範囲
与えられた不等式は、二次式mx^2 + (m-2)x + (m-2) < 0であり、全ての実数xに対して成り立つという条件があります。この条件を満たすためには、二次方程式の解の存在に関する条件を調べる必要があります。
まず、この不等式が全てのxに対して成り立つためには、二次関数が常に負である必要があります。二次関数が常に負であるためには、判別式dが負である必要があり、d<0の条件が自然に導かれます。
判別式とm
判別式dを求めると、d = (m-2)^2 – 4m(m-2)となります。これを展開して整理すると、d = -3m^2 + 8m – 4という式になります。この式から、d<0を満たすためには、mが特定の範囲にある必要があります。
この条件を解くことで、mの範囲が求まりますが、その中でm<0という条件が出てきます。これは、mが負の値を取るときに不等式が成り立つことを示しています。
m
なぜm<0が出てくるのかというと、不等式が成立するためには、関数がxに関して常に負である必要があるため、mが負の範囲に入ると、関数の形状が変化し、全てのxに対して成り立つ不等式が導かれるからです。m<0であるときに、二次関数の向きや値が変化し、条件を満たす範囲が広がるため、m<0という条件が求められます。
まとめ：m
この問題において、m<0が出てくるのは、二次関数が常に負であるための条件として、mが特定の範囲にある必要があるからです。判別式d<0の条件を満たし、さらにmが負である場合にのみ、全ての実数xに対して不等式が成り立つことがわかります。
このように、数学の問題を解く際には、関数の性質や条件をしっかりと理解し、段階的に解法を進めることが大切です。
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