積分 ∫e^(2x)sin(3x)dx の解き方と手順

この問題では、積分 ∫e^(2x)sin(3x)dx を解く方法について説明します。解法には部分積分を用いる手法を使用し、積分を解く手順を順を追って詳しく解説します。

問題の理解と解法のアプローチ

まず、この積分問題は積分の中に e^(2x) と sin(3x) という異なる関数が掛け算されています。こうした積分問題では、積分の公式「部分積分」を使うことで解決できます。部分積分の公式は以下のようになります：
∫u dv = uv – ∫v du

この積分においては、u = e^(2x) と dv = sin(3x)dx を選びます。次に、それぞれの微分と積分を求めます。
u = e^(2x) の微分は du = 2e^(2x)dx です。
dv = sin(3x)dx を積分すると、v = -1/3 cos(3x) になります。

部分積分の公式に代入すると、次のように書きます：
∫e^(2x)sin(3x)dx = -1/3 e^(2x) cos(3x) – ∫(-1/3)(2e^(2x) cos(3x))dx

ここで新たに出てきた積分 ∫e^(2x)cos(3x)dx を再び部分積分を使って解いていきます。

再度部分積分を使って積分を解くと、最終的に元の積分が解けます。この過程では2回の部分積分が必要となり、最終的に解は積分の関数の線形結合として表されます。

積分 ∫e^(2x)sin(3x)dx の解法は、部分積分を2回使用することで解くことができます。このような積分は、部分積分を適切に使いこなすことで効率よく解くことができます。解法の詳細を理解して、複雑な積分も自分で解けるようになりましょう。