この問題では、実数tに関して、座標平面上の直線lt: y = 2tx – t²が与えられています。tがt ≧ 1の範囲で変化するときに、この直線が通過する領域を求め、図示する方法について解説します。
1. 直線の式の理解
直線の式は y = 2tx – t² という形で与えられています。この式では、tがパラメータとなっており、tの値によって直線の傾きと切片が決まります。ここでのポイントは、tが変化することで直線の位置がどのように変化するかを理解することです。
具体的に、tが変化すると直線の傾き（2t）が変わり、また、切片（-t²）もtの値によって変化します。この直線の動き方を視覚的に捉えるためには、tの範囲にわたって直線をプロットする必要があります。
2. t ≧ 1 の範囲で直線の動きを見る
tがt ≧ 1の範囲で変化する場合、tが1の時には直線はy = 2x – 1となり、tが大きくなるにつれて直線の傾きは大きくなり、切片は下がります。直線の傾きが大きいほど、直線は急激に上昇または下降します。
tが1から増加するにつれて、直線の位置がどんどん変化していくため、この範囲内で直線が通過する領域を図示するには、tの異なる値に対して直線を描き、その結果として得られる領域を確認することが重要です。
3. 領域の求め方
この直線が通過する領域を求めるには、まずtが変化するたびに直線がどこに位置するかを把握し、その直線の交点を調べる必要があります。各tに対して直線が座標平面で描く線を描くと、それぞれの直線が描く領域を視覚的に捉えることができます。
例えば、t = 1の場合、y = 2x – 1という直線が描かれ、tが増えると直線はより急激に動き、傾きが大きくなります。最終的に、t ≧ 1の範囲内で直線が描く領域を図示すると、その範囲の領域は直線群によって囲まれた範囲になります。
4. 図示の実践
実際にこの直線が通過する領域を図示するためには、tをいくつかの値で固定して直線を描きます。たとえば、t = 1, t = 2, t = 3 といった具合に直線を描き、それらの直線がどのように配置されるかを観察します。直線の交点や領域の形状を視覚的に確認することで、t ≧ 1の範囲における直線が通過する領域が明確にわかります。
まとめ
この問題では、直線の式 y = 2tx – t² が示す直線が、t ≧ 1の範囲でどのように変化するかを視覚的に捉え、その領域を求める方法について解説しました。tの変化によって直線がどのように変化するかを理解し、その直線の通過する領域を描くことが重要です。
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