大学数学の積分問題の解き方：手順と解説

大学数学における積分の問題に関して、今回は2つの積分問題の解き方について解説します。それぞれの積分問題に対するステップバイステップの解法を理解することで、数学の理解を深めていきましょう。

問題1：∫1→e (log(x))^2 dx の解法

この積分は、対数関数の二乗を含んでいます。まず、u = log(x)という置換を使って、積分を簡単にします。

1. u = log(x)と置換することで、du = 1/x dxとなります。

2. 置換後の積分範囲を変換すると、x=1の時、u=0、x=eの時、u=1となります。

3. 置換後の積分は、∫0→1 u^2 duとなります。

4. 積分を解くと、∫0→1 u^2 du = [u^3 / 3]0→1 = (1^3 / 3) - (0^3 / 3) = 1/3となります。

この積分は、指数関数と三角関数の積を含んでいるので、部分積分を利用します。

1. 部分積分の公式は、∫u dv = uv - ∫v duです。まず、u = e^(-x)と置き、dv = cos(2x) dxとします。

2. これにより、du = -e^(-x) dx、v = (1/2)sin(2x)となります。

3. 部分積分を適用すると、積分は次のようになります。

∫0→π/3 e^(-x) cos(2x) dx = [e^(-x) (1/2) sin(2x)]0→π/3 - ∫0→π/3 (1/2) e^(-x) sin(2x) dx

4. さらに積分を解いていくと、最終的な結果が得られます。計算の詳細を行えば、この積分の解は数値的に求めることができます。

今回解説した積分問題では、置換積分と部分積分の技術を駆使して、問題を解いていきました。これらの方法は、複雑な積分問題を解く際に非常に有効です。数学を学ぶ際には、こうした基本的な技法を理解し、使いこなせるようにすることが重要です。