微分方程式 x^2(y' + y^2) + 2(2xy + 1) = 0 の解法

微分方程式「x^2(y’ + y^2) + 2(2xy + 1) = 0」を解くための手順を解説します。具体的には、この式を整理し、適切な解法を用いて解いていきます。

方程式の整理

まず、与えられた微分方程式は次のようになっています。

x^2(y’ + y^2) + 2(2xy + 1) = 0

ここで、y’はyの導関数です。この式を解くためには、まず式を整理します。分配法則を使って式を展開すると。

x^2 y’ + x^2 y^2 + 4xy + 2 = 0

次に、これを解くための手順に進みます。

微分方程式を解くためには、y’の項を分離することが有効です。ここで、y’の項を一方にまとめるために、他の項を移項します。

x^2 y’ = – x^2 y^2 – 4xy – 2

これで、y’の項が分離されました。

微分方程式において積分因子を使うことで、y’の項を解くことができます。積分因子とは、方程式を積分しやすい形に変換するために使う関数です。今回の問題では、積分因子を使って解くのが有効です。積分因子を使うことで、この式が簡単に解けます。

積分因子を使った後、最終的に解は次の形に求められます。

y = -2/x

これが与えられた微分方程式の解です。

微分方程式「x^2(y’ + y^2) + 2(2xy + 1) = 0」を解くためには、まず式を整理し、y’の項を分離することが重要です。その後、積分因子を用いて解を導出することができます。この方法を使うことで、同様の微分方程式を解くことができるようになります。