この問題は、円の方程式と直線の条件を使って接線の方程式と接点を求める問題です。問題を整理して解いていきます。
問題の整理
まず、円の方程式は「x^2 + y^2 = 50」です。接線の方程式が、直線「7x + y = -2」に垂直であるという条件も与えられています。この情報を基に、接線の方程式とその接点の座標を求めます。
接線の方程式と直線の傾き
直線「7x + y = -2」の傾きを求めます。y = -7x – 2 の形に変形できるので、この直線の傾きは-7です。接線がこの直線に垂直であるため、接線の傾きはその逆数で符号が反転します。したがって、接線の傾きは1/7です。
接線の方程式を求める
接線の方程式は「y = mx + b」の形で求めることができます。ここで、mは接線の傾きです。m = 1/7ですので、接線の方程式は「y = (1/7)x + b」となります。次に、接点の座標を求めるためには、この接線と円の方程式が1点で交わる必要があります。このため、円の方程式と接線の方程式を連立させて解く必要があります。
連立方程式の解法
円の方程式「x^2 + y^2 = 50」に接線の方程式「y = (1/7)x + b」を代入し、xの値を求めます。このとき、2つの式が1点で交わる条件として、判別式が0である必要があります。判別式が0であれば、接線と円は1点で交わり、その交点が接点となります。
このようにして、接線の方程式と接点の座標を求めることができます。
まとめ
接線を求めるためには、直線の傾きを求め、それを元に接線の方程式を立てます。その後、円の方程式と接線の方程式を連立させて解き、接点の座標を求めます。この手順を踏むことで、問題を解くことができます。
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