数学の証明: 続いた数の最大の二乗と最小の二乗の差が4の倍数であることの証明

今回は中学3年生レベルの数学問題に挑戦します。この問題では、続いた数の最大の二乗と最小の二乗の差が4の倍数であることを証明します。

問題の内容

問題は、123や456といった連続した数において、「最大の数の二乗から最小の数の二乗を引くと、その結果は4の倍数になる」という内容です。この問題を証明していきます。

まず、連続する3つの数字をa, b, cと仮定します。例えば、123という数の各桁をa = 1, b = 2, c = 3というように考えます。

このとき、a, b, cは連続した自然数であり、順番に並んでいます。したがって、問題文ではa < b < cという関係があります。

次に、最大の数cの二乗と最小の数aの二乗を引きます。

式で表すと、c² – a² となります。この式を因数分解すると、

(c – a)(c + a) となります。

ここで、cとaは連続する整数なので、c – a = 1 となります。したがって、式は次のように簡略化できます。

1 × (c + a) = c + a

このc + aは、aとcの和です。連続する整数の和は必ず偶数になるため、c + aは必ず偶数です。したがって、c + aは2の倍数です。

さらに、c + aが偶数であることがわかれば、この差が4の倍数であることが自明であることが証明できます。

連続する整数の最大の数の二乗と最小の数の二乗の差は、常に4の倍数であることが証明されました。これは整数の性質を理解する上で重要な事実であり、数学的な証明の基本的な方法に触れる良い問題でした。