高校数学の問題：異なる色の9個の玉を分ける方法と3!の理由

この質問では、異なる色の9個の玉を3つの組に分ける方法を求める問題について解説します。まず、問題の背景を整理し、なぜ3!を使うのかを理解しましょう。

1. 問題の概要と最初の分け方

問題は、異なる色の9個の玉を3つの組（ABC）にそれぞれ3個ずつ分ける方法を求めるものです。このような問題を解くためには、順番や組み合わせを考慮する必要があります。まずは、9個の玉を3つの組に分ける方法を計算します。

この場合、最初に9個の玉を3つの組に分ける方法は、順番を気にせずに3個ずつ分ける場合なので、組み合わせの計算になります。3つの組に分ける場合の総数は、順番を考慮しない組み合わせの問題として解けます。

次に、3つの組に分けた場合の問題ですが、問題文に書かれている「1の答えから÷3!をする」という部分について説明します。なぜここで3!を使うのでしょうか？

実は、この「3!」は、組の順番を考慮しないために必要です。例えば、A、B、Cという3つの組ができたとき、Aの組がBに変わったり、BがCに変わったりしても、同じ分け方になります。このため、分け方を区別しないようにするために、重複を除くために3!で割る必要があります。

3!という数字は、組み合わせの順番に関係なく、同じ分け方を重複としてカウントしないために使用します。たとえば、A、B、Cの組があり、これを順番に並べると3! = 6通りの並べ方が出てきます。しかし、順番を無視したい場合、この6通りを重複と考えて1通りとしてカウントするために、3!で割るのです。

数学的に言うと、3つの組に分けたとき、順番を区別しない分け方を求めているため、組み合わせの総数から順番を区別しないようにするための補正を行っているのです。

この問題では、異なる色の9個の玉を3つの組に分ける方法として、まず9個の玉を3つの組に分ける組み合わせの計算を行います。その後、組み合わせの順番を区別しないようにするため、3!を使って重複を除外します。

したがって、最終的な答えを求めるには、まず9個の玉を3つの組に分ける方法を計算し、その結果を3!で割ることで正しい答えが得られます。このように、数学的帰納法や組み合わせの計算を用いることで、問題を解くことができます。