関数 y = (x² - 2x)² + 4(x² - 2x) - 1 の最大値と最小値を求める方法

この問題では、関数 y = (x² – 2x)² + 4(x² – 2x) – 1 の最大値と最小値を求めることが求められています。まず、関数の最小値が x = 1 のとき -4 である理由を理解するために、関数を適切に整理し、微分を用いて解析します。

1. 関数の整理

関数は y = (x² – 2x)² + 4(x² – 2x) – 1 です。まず、部分的に置き換えを行うと便利です。置き換えを行うことで、計算が簡単になります。例えば、z = x² – 2x と置くと、関数は次のようになります。

y = z² + 4z – 1

次に、この関数の極値を求めるために微分を行います。y = z² + 4z – 1 の微分は次のようになります。

dy/dz = 2z + 4

この微分がゼロになる点を求めます。

2z + 4 = 0

z = -2

z = x² – 2x と置き換えたので、z = -2 のときに x の値を求めます。

x² – 2x = -2

x² – 2x + 2 = 0

解の公式を使って解くと、x = 1 が得られます。

x = 1 のときの y の値を求めてみましょう。z = x² – 2x の場合、x = 1 で z = -2 となり、y = z² + 4z – 1 となります。

y = (-2)² + 4(-2) – 1 = 4 – 8 – 1 = -4

したがって、最小値は -4 となり、x = 1 のときに最小値が得られます。

このように、関数 y = (x² – 2x)² + 4(x² – 2x) – 1 の最小値は x = 1 のときに -4 であることが確認できました。また、このような問題では微分を利用して極値を求める方法が有効です。