曲線y²＝x²(1-x)で囲まれた部分の面積の求め方とグラフの描き方

数Ⅲの問題「曲線y²＝x²(1-x)で囲まれた部分の面積Sを求めよ」という問題について、まずは曲線のグラフをどのように描くか、そしてその後に面積を求める方法を解説します。

曲線y²＝x²(1-x)のグラフの描き方

まず、与えられた方程式y²＝x²(1-x)を整理してグラフを描く準備をしましょう。この方程式はxについての2次式の形をしていますので、グラフを描く際にいくつかのステップを踏む必要があります。

y²があるので、y = ±√(x²(1-x)) という形に直せます。これにより、yの値が正負で2通りあるため、曲線は上下対称の形を取ります。

次に、この関数のグラフを描いてみましょう。x = 0やx = 1のとき、yは0になります。これを確認することで、グラフはx軸を中心に対称で、x = 0 と x = 1 で交わることがわかります。

また、この曲線はxが0から1の間で定義され、x = 1を超えるとy²が負の値になるため、実数解を持ちません。したがって、グラフはx = 0からx = 1までの区間に限定されます。

次に、曲線で囲まれた部分の面積を求める方法について説明します。面積を求めるためには、積分を使います。与えられた式から、曲線の下側に位置するyの値を取り、それを積分します。

まず、yの式を積分式に置き換えます。面積Sは、次のように求めることができます。

この積分を計算することで、曲線で囲まれた部分の面積が求められます。

曲線y²＝x²(1-x)で囲まれた部分の面積を求めるには、まず曲線のグラフを描き、次に積分を使って面積を計算します。計算には少し手間がかかりますが、積分の公式や対称性を利用することで、問題を効率よく解くことができます。ぜひ、この方法を理解し、他の同様の問題にも応用してみましょう。