この質問では、絶対値不等式「4≦|x-2|<8」の解法について触れています。問題に取り組む際に、±4≦|x-2|<±8という形で解こうとしても、正しく解けない理由とその解法を丁寧に解説します。
1. 絶対値不等式の基本
絶対値不等式は、絶対値の中身が特定の範囲にあることを示すものです。例えば、|x – 2| ≧ 4 という不等式では、x – 2 が 4 以上または -4 以下であることを示しています。この場合、解は x ≧ 6 または x ≦ -2 となります。
2. 与えられた不等式の解法
与えられた不等式 4 ≦ |x – 2| < 8 は、絶対値の性質を理解し、場合分けをすることで解けます。まず、|x - 2| ≧ 4 の部分を解くと x ≧ 6 または x ≦ -2 となり、次に |x - 2| < 8 の部分を解くと、-6 < x - 2 < 6 となります。これらを連立させて解くと、最終的に -6 < x ≦ -2 または 6 ≦ x < 10 という範囲が得られます。
3. ±4≦|x – 2|
ここでの誤りは、±4≦|x – 2|<±8という形で解く方法です。この場合、符号を正しく処理できていないため、不等式が正確に表現されません。絶対値は常に非負の値を取るため、±という符号は不要です。絶対値の不等式を解く際には、単純に絶対値の中身の範囲を考える必要があります。
4. 解法の正しい手順
絶対値不等式を解く正しい手順は、まず絶対値の中身に対する2つの条件（大きい場合、小さい場合）を設定して、場合分けを行います。この問題の場合、4 ≦ |x – 2| < 8 という不等式を、|x - 2| ≧ 4 と |x - 2| < 8 に分けて、それぞれを解くことがポイントです。
まとめ
±4≦|x – 2|<±8のような形では解けない理由は、絶対値の定義と符号処理の誤りにあります。正しい解法では、場合分けをして絶対値の範囲を正確に表現し、その上で解を導くことが重要です。
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