三角関数の加法定理を使った式の簡単化方法

三角関数の加法定理は、角度を足した三角関数を簡単に計算するための重要なツールです。この問題では、sin(θ+π/2)、cos(θ+π/2)、sin(π+θ)、cos(π+θ)などの式をどのように簡単にするかについて解説します。加法定理を使うことで、これらの式を簡単に解く方法を学びましょう。

加法定理の基本

三角関数の加法定理とは、2つの角度を加えた三角関数の値を、それぞれの角度の三角関数を用いて表す方法です。具体的には、sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) という式で表されます。同様に、cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B) という式が成り立ちます。

sin(θ + π/2)の簡単化

sin(θ + π/2)の式を簡単にするために、加法定理を使います。ここで、A = θ、B = π/2とすると、次のように計算できます：
sin(θ + π/2) = sin(θ)cos(π/2) + cos(θ)sin(π/2)。
cos(π/2) = 0、sin(π/2) = 1なので、sin(θ + π/2) = cos(θ)となります。

cos(θ + π/2)の簡単化

cos(θ + π/2)も同様に加法定理を使って簡単にできます。A = θ、B = π/2として、次のように計算します：
cos(θ + π/2) = cos(θ)cos(π/2) – sin(θ)sin(π/2)。
cos(π/2) = 0、sin(π/2) = 1なので、cos(θ + π/2) = -sin(θ)となります。

sin(π + θ)とcos(π + θ)の簡単化

sin(π + θ)およびcos(π + θ)も加法定理を使って簡単に求められます。まず、sin(π + θ)の場合、A = π、B = θとすると、次のように計算します：
sin(π + θ) = sin(π)cos(θ) + cos(π)sin(θ)。
sin(π) = 0、cos(π) = -1なので、sin(π + θ) = -sin(θ)となります。
同様に、cos(π + θ)を計算すると、cos(π + θ) = -cos(θ)となります。

まとめ

三角関数の加法定理を使うことで、複雑な三角関数の式を簡単に表現できます。例えば、sin(θ + π/2) = cos(θ)、cos(θ + π/2) = -sin(θ)、sin(π + θ) = -sin(θ)、cos(π + θ) = -cos(θ)といった形で簡単に変形できます。このように、加法定理を理解して使いこなすことで、三角関数の問題を効率よく解くことができます。