tan(x)/(1 + sin(x)) の不定積分の解法

tan(x)/(1 + sin(x)) の不定積分を解く方法を詳細に解説します。この問題では、適切な置換積分法を使うことで、解法をシンプルに進めることができます。

問題の整理

与えられた不定積分は次の形です。

∫ tan(x) / (1 + sin(x)) dx

まず、tan(x) を sin(x) と cos(x) を使って分解し、計算を進めるために必要な置換を行います。

tan(x) は sin(x) / cos(x) として書き直せます。このため、積分式は次のように変形できます。

∫ (sin(x) / cos(x)) / (1 + sin(x)) dx

これをさらに簡略化すると。

∫ sin(x) / ((1 + sin(x)) * cos(x)) dx

この式を解くために、適切な置換を行います。

次に、置換 u = 1 + sin(x) を使います。この置換により、du = cos(x) dx となります。すると、積分式は次のように変形されます。

∫ (sin(x) / u) * (du / cos(x))

ここで、sin(x) / cos(x) は tan(x) に一致し、積分式は次のようになります。

∫ (1 / u) du

積分 ∫ (1 / u) du は非常に簡単で、結果は次のようになります。

ln|u| + C

ここで、u = 1 + sin(x) を代入すると、最終的な解は。

ln|1 + sin(x)| + C

tan(x) / (1 + sin(x)) の不定積分を解くためには、まず tan(x) を sin(x) と cos(x) を使って表現し、置換法を適用することで簡単に解くことができます。最終的な答えは、ln|1 + sin(x)| + C となります。