問題で与えられた関数z = x^2 – 2xy + 2y^2 + 2x – 4y + 3の最小値を求める方法について解説します。まず、yを定数と考えてxを動かすことで最小値を求め、その後、得られた最小値をyについて考え、最終的にzの最小値とx、yの値を求めます。
問題の設定と式の整理
まず、与えられた関数z = x^2 – 2xy + 2y^2 + 2x – 4y + 3について、最小値を求めるためにxを動かすことを考えます。yは定数として固定し、zをxの関数として捉えることができます。
この関数を最小化するためには、まずxに関する偏微分を求め、最小値を見つける必要があります。
yを定数としたときのxの最小値
yを定数とした場合、関数zはxに関する二次関数の形になります。これに対して、xで微分した式を0に設定して、最小値を求めます。
具体的にzをxで微分すると、次のようになります。
∂z/∂x = 2x – 2y + 2 = 0
この式を解くと、x = y – 1となります。このxの値が最小値を与える点です。次に、このxの値をzに代入して、最小値mを求めます。
最小値mのyによる表現
x = y – 1を元の式zに代入すると、最小値mは次のように求められます。
m = (y – 1)^2 – 2(y – 1)y + 2y^2 + 2(y – 1) – 4y + 3
これを簡略化すると、m = y^2 – 2y + 1 – 2y^2 + 2y + 2y^2 – 2y + 2 – 4y + 3となり、最終的にm = y^2 – 4y + 6となります。これがyで表された最小値です。
最小値mのyに関する最小値
次に、m = y^2 – 4y + 6について、yを動かしたときの最小値を求めます。これは二次関数ですので、平方完成を使って最小値を求めることができます。
平方完成を行うと、m = (y – 2)^2 + 2となり、最小値はm = 2となります。このとき、y = 2で最小値が得られます。
zの最小値とx、yの値
最小値m = 2となるとき、y = 2です。このyの値をx = y – 1に代入すると、x = 1となります。
したがって、zの最小値は2であり、そのときのx、yの値はそれぞれx = 1、y = 2となります。
まとめ
この問題では、まずyを定数と考えてxについて最小値を求め、その後得られた最小値をyで表し、さらにyに関して最小値を求めることで、最終的にzの最小値とそのときのx、yの値を求めました。最終的な最小値はz = 2、x = 1、y = 2となります。
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