微分方程式の解法: (xy'-y)^2=y'^2-2(y/x)y'+1の解き方

この問題では、与えられた微分方程式を解く方法を順を追って解説します。非線形微分方程式の一例で、y’（yのxに関する微分）を含む式です。解法の手順と、式の整理方法に焦点を当てて説明します。

問題の整理と式の確認

与えられた微分方程式は次の通りです。

(xy’ – y)^2 = y’^2 – 2(y/x)y’ + 1

ここで、y’はyのxに関する微分を示しており、この方程式はそのままでは解きづらい形をしています。まずは式を整理し、解くために適切な方法を考えることが重要です。

まず、式の左辺を展開して整理します。

(xy’ – y)^2 = (xy’)^2 – 2xy’y + y^2

これで左辺の式が整理できました。次に、右辺の式をそのまま残しておきます。右辺にはy’とy/xが含まれていますが、これらを整理することで解の手掛かりを得ることができます。

次に、y’に関する項を一つの式にまとめるために、変数を整理し、代数的に処理します。微分方程式を解く際に大切なのは、適切に変数を分けて、それぞれを解ける形に変換することです。

この問題の場合、左辺と右辺の項をうまく整理することで、微分方程式を解くための手がかりを得ることができます。

得られた解が正しいかどうかを確認するためには、元の微分方程式に代入してチェックします。このステップを通じて、解が正しいことを確認します。特に非線形な式では、この検証を行うことが非常に重要です。

この微分方程式は複雑に見えますが、式を展開して整理し、変数を分けることで解が得られます。重要なのは、適切な代数的操作を行い、解を得た後にその解を検証することです。微分方程式は手順を踏んで解いていくことで、しっかりと理解できるようになります。