S n = 1^2 − 2^2 + 3^2 − 4^2 + …… + (−1)^(n−1) n^2 の求め方とn = 2mの理由

この問題では、式S n = 1^2 − 2^2 + 3^2 − 4^2 + …… + (−1)^(n−1) n^2を求める際に、nを偶数と奇数に分けて考える必要があります。なぜn=2mとおくのか、その理由を解説します。

1. 数列の特徴と分け方

与えられた数列は交互に正負が入れ替わる形で、各項が平方数になっています。このような数列の求め方で最も効果的なのが、項数が2つずつペアになっているという視点を持つことです。

例えば、n=1, 2, 3, 4, 5, 6…という項を順に並べてみると、1^2 – 2^2, 3^2 – 4^2, 5^2 – 6^2のように、2つの項が1組となっています。このペアの考え方をすると、項数がm個となり、計算しやすくなります。

nを偶数と奇数に分ける理由は、数列の項をペアで捉えるためです。n=2mとおくことで、m個のペアを作ることができ、これを用いて計算が簡単になります。mはペアの数を表しており、最初の数が1のとき、m=1、次はm=2、となります。

このように、ペアの数を使うことで計算をシンプルにし、各ペアごとに数式を整理することができます。これにより、数列の合計を求めやすくなります。

具体的に計算する方法としては、nが偶数のとき、数列を(1^2 – 2^2), (3^2 – 4^2), (5^2 – 6^2),…という形でペアにし、それぞれのペアを計算して加算する方法があります。nが奇数のときは、余った項を最後に単独で計算します。

この方法を使えば、複雑に見える数列も効率よく計算することが可能になります。

数列の問題を解く際、偶数と奇数をうまく使ってペアにすることで、計算が簡単になります。n=2mという形で考えると、項数がm個になり、数式を整理して計算しやすくすることができます。大切なのは、数列のパターンを見極めて、最適な方法で整理することです。