微分の計算での割り算についての理解: f'(x)=2(2x−1) の導出

高校数学の微分(Ⅱ)の問題で、ある等式の両辺をxで微分した結果が与えられた際、なぜ「すべてのxで成り立つ場合には、両辺をx+1で割ることができるのか？」という疑問を持つ方が多いです。この記事では、この疑問を解決するために必要な数学的背景と手順をわかりやすく解説します。

問題の背景：等式の微分

与えられた等式は次の通りです。

(x + 1)f'(x) = 2(x + 1)(2x – 1)

ここで、両辺をxで微分した結果、「これがすべてのxで成り立つとき」という条件の下で、f'(x) = 2(2x – 1) という式が得られます。

まず、この式で「すべてのxで成り立つ」という条件が重要です。この条件は、x+1が0でない範囲で成り立つことを意味しています。言い換えると、x = -1のときだけx+1が0になり、式が定義できなくなります。しかし、x = -1の点を除いたすべてのxで成り立つため、x+1で割っても問題が生じません。

したがって、x ≠ -1の場合、x + 1で割っても式が成り立ち、f'(x) = 2(2x – 1) という式が得られるのです。

式 (x + 1)f'(x) = 2(x + 1)(2x – 1) において、x ≠ -1の場合、両辺をx + 1で割ることができます。割り算を行うと。

f'(x) = 2(2x – 1)

このように、x ≠ -1の範囲では、x+1を割ることに何の問題もないことがわかります。

場合分けをせずに進められるのは、x ≠ -1の範囲でのみ計算を行っているからです。x = -1の場合にだけ、分母が0になってしまうため、その点を除外して考えることができます。このように、x ≠ -1であれば、割り算を行うことが正当化されます。

高校数学の問題で「すべてのxで成り立つとき」という条件が与えられた場合、x+1で割ることができる理由は、x = -1の場合だけが除外されているためです。このような場合、式を進めるために特に場合分けをする必要はなく、x ≠ -1の場合に限って割り算を行うことができます。