微分積分における極値と判別式について – 実数解が一つだけのケース

微分積分を学ぶ際に「極値」と「判別式」について混乱することがあります。特に、微分した式の判別式Dが実数解を一つだけ持つ場合に極値が存在しない理由については、理解が難しいことがあります。この記事では、この現象がなぜ起こるのかを解説します。

1. 極値とは

極値とは、関数のグラフ上で他の点よりも大きいまたは小さい値を持つ点のことを指します。具体的には、関数f(x)の極大値や極小値が存在する点です。これを数学的に表現すると、f'(x) = 0 かつf”(x)が正または負である点が極値となります。

2. 判別式Dの意味とその役割

二次関数や微分方程式で使用される判別式Dは、解の性質を決定するために用いられます。D = b² – 4acという形で表される場合、解が実数で異なるか、重解か、または虚数解かを予測できます。微分積分における判別式も同様に、解の特性を決定します。

3. 実数解が一つだけの場合に極値がない理由

微分した式の判別式Dが実数解を一つだけ持つ場合、関数の傾きが0となる点が1点だけ存在します。しかし、この点が極値でない場合があり、その理由は解が重解でないからです。例えば、D = 0のとき、関数の変化率が一定で、極値を形成するための条件を満たさないことがあります。

4. 実数解がない場合の極値

逆に、判別式Dが実数解を持たない場合、関数は常に増加または減少するため、極値を持ちません。このような場合、関数は単調で、グラフ上に「山」や「谷」が存在しません。

5. 結論

判別式Dが実数解を一つだけ持つ場合、解が重解ではないため、極値が形成されません。極値が存在するためには、微分方程式の解が異なる解を持つか、解が重解でないことが必要です。これらの概念を理解することで、微分積分の問題をより深く理解できるようになります。