線形代数において、行列の性質を理解することは重要です。特に、行列の積が正則かどうかを判断することは、行列の逆行列の有無を決定するために必要不可欠です。この記事では、行列A = (E_r Q)とし、AA^✴が正則であることを示す方法について解説します。
1. 問題の概要
まず、問題の要点を整理しましょう。行列Aは、E_r（単位行列）とQ（r×n-r行列）が横並びで構成されています。このとき、行列Aとその随伴行列A^✴の積AA^✴が正則であることを証明する必要があります。
2. 行列の定義と性質
まず、A = (E_r Q)という形式から、Aはr×n行列であり、E_rはr×rの単位行列、Qはr×(n-r)行列であることが分かります。また、A^✴はAの随伴行列であり、行列の積AA^✴の結果が正則であるかどうかを証明することが求められています。
3. AA^✴が正則である理由
行列の積AA^✴が正則であるためには、AA^✴の行列式が0でないことが必要です。まず、AとA^✴を掛け合わせた行列AA^✴を計算します。E_rは単位行列なので、E_rとQの掛け算はQのトランスポーズ行列に依存します。このとき、行列Aが正則であれば、AA^✴の行列式は0にならず、正則性が確認できます。
4. 結論
したがって、AA^✴が正則であることが示されました。AがE_r Qという形で構成される場合、その積AA^✴は正則行列であることが分かります。この性質を利用すると、行列の性質をより深く理解することができ、線形代数の他の問題にも応用が可能です。
5. まとめ
線形代数における行列の積AA^✴の正則性を証明する方法について学びました。E_rとQからなる行列Aの性質を利用し、AA^✴の正則性を確認することができました。このような基本的な行列の性質を理解することは、さらに高度な線形代数の問題を解くための第一歩となります。
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