統計学における標本平均と標本分散を使った確率計算の問題に直面することがあります。今回は、母集団から無作為に抽出した標本の平均と分散を用いた確率を求める問題について、解き方をわかりやすく解説します。具体的には、標本平均と標本分散の関係を使って確率を求める方法を紹介します。
1. 問題の理解と式の整理
問題では、「X ~ N(200, σ^2) である母集団から16個の標本を無作為に抽出した」とのことです。ここで、Xは母集団の確率変数であり、平均が200、分散がσ^2である正規分布に従っています。また、標本平均をx̄、標本分散をS²としたとき、「2000x̄ – 1732S/√15 <= 40000」の確率を求める問題です。
まず、この式が何を意味しているのかを理解するために、いくつかの点に分けて考えていきましょう。標本平均や標本分散の性質をしっかり理解することが重要です。
2. 標本平均と標本分散の基礎知識
標本平均x̄は、標本データの平均値を表します。標本分散S²は、標本データの散らばり具合を示す指標です。母集団が正規分布N(200, σ^2)に従うとき、標本平均x̄は次の性質を持ちます。
- 標本平均の期待値E(x̄) = 200
- 標本平均の分散Var(x̄) = σ² / 16
また、標本分散S²は、標本データの分散の推定値です。標本分散は母集団分散σ²の推定に使われます。
3. 問題の式における標本平均と標本分散の関係
与えられた式「2000x̄ – 1732S/√15 <= 40000」を解析するために、標本平均x̄と標本分散S²の統計的性質を利用します。まず、標本平均x̄は母集団平均200に近い値になると期待され、標本分散S²は母集団分散σ²の推定値であるため、この式には正規分布に基づく確率計算が含まれています。
式を変形すると、「x̄とSの組み合わせが40000を超えない確率」を求める問題であることが分かります。この問題は、標本平均と標本分散が正規分布に従うことを前提に、確率を求める問題です。
4. 確率計算の手順と正規分布の利用
まず、標本平均x̄と標本分散S²の分布を考えます。標本平均x̄は、正規分布N(200, σ²/16)に従います。そして、標本分散S²は、自由度15のカイ二乗分布に従うため、S/√15もまたカイ二乗分布に関連する形になります。
この問題では、与えられた式が成立する確率を求めるために、標準正規分布を用いて計算を行います。まず、式の両辺に適切な変換を行い、標準正規分布に従う確率変数に変換します。その後、標準正規分布表を使って確率を求めます。
5. まとめとアドバイス
この問題を解くためには、標本平均と標本分散が持つ確率分布の性質を理解することが大切です。標本平均は正規分布に従い、標本分散はカイ二乗分布に関連します。問題を解く際には、これらの分布を正確に理解し、変換を行うことで確率を求めることができます。
また、統計学における確率計算は練習を重ねることで理解が深まります。問題を解く際は、まず式の意味をよく理解し、標準正規分布やカイ二乗分布を適用する方法を学ぶことをお勧めします。
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