ガロア理論におけるQ(√2)の代数閉包とその意味

代数学のガロア理論についての質問を解決するため、Q(√2)/Qという体の拡大における代数閉包の意味を詳しく解説します。特に、「Q(√2)における代数閉包はなぜQ(√2)となるのか？」という疑問について考察します。

代数閉包とは？

代数閉包とは、ある体に対して、その体内で定義された代数方程式をすべて解くことができる最小の体のことを指します。すなわち、代数閉包を持つ体では、すべての代数方程式がその体の元で解を持ちます。

例えば、有理数体Qの代数閉包は複素数体Cです。これは、複素数体内であらゆる代数方程式が解を持つためです。

Q(√2)という体は、実際には「有理数体Qに√2を加えた体」です。この体の代数閉包がQ(√2)である理由は、Q(√2)内で定義される代数方程式すべてが、すでにQ(√2)の元で解を持つからです。

たとえば、x^2 – 2 = 0という方程式はQ(√2)において解が存在し、√2がその解の一つです。この体には他にも、Q(√2)内で解ける代数方程式がすべて含まれているため、Q(√2)自体が代数閉包として機能します。

Q(√2)の代数閉包とQの代数閉包は異なります。Qの代数閉包は複素数体Cですが、Q(√2)の代数閉包は、Q(√2)そのものであり、これはQ(√2)内で代数方程式が解けるためです。

Q(√2)内で解ける代数方程式は、Q(√2)の元だけで完結するため、この体は代数閉包を満たしています。もし、他の数（例えば虚数）を解として必要とする場合、そのような解を含む体（例えばC）を使う必要があります。

質問で求められている「Q(√2)における代数閉包」という条件は、Q(√2)という特定の体内でのみ解が存在するという意味です。Q(√2)内で定義された代数方程式は、他の体（例えば複素数体C）を必要とせず、Q(√2)内で完結します。

一方で、Qの代数閉包を考えると、複素数体Cが代数閉包であることは広く知られています。これは、C内ですべての代数方程式が解を持つためです。Q(√2)内で代数閉包がQ(√2)そのものであることは、このように別の体に対する理解を深める助けとなります。

Q(√2)における代数閉包がQ(√2)自体である理由は、Q(√2)内で定義された代数方程式がその体内で解を持つからです。この理解により、ガロア理論の基本的な概念を掴みやすくなります。また、代数閉包が異なる体においてどのように変化するのかを学ぶことで、体の拡大やその関係をより深く理解できます。