数列の収束と極限値の求め方：漸化式の解法と収束性

この質問では、漸化式を使って数列の収束と極限値を求める方法について解説します。まず、与えられた漸化式に従って数列が収束するかどうかを確認し、その後収束した場合の極限値を求める手順を説明します。

漸化式の収束性を確認する

漸化式の一般的な形は、a(n+1) = 1 + 1 / (1 + a(n)) です。この式において、n→∞の極限値aを求めるためには、まず数列が収束することを確認する必要があります。数列が収束すると仮定して、a(n+1) = a(n) = a と置き換え、極限値aが存在するかを調べます。

収束を仮定した上で式に代入すると、a = 1 + 1 / (1 + a) という方程式が得られます。この方程式を解くことで、極限値aを求めることができます。

数列の収束を数値で確認する方法

漸化式が収束するかどうかを数値で確認する方法として、数列の初項から順に値を計算していき、収束する様子を確認することが有効です。例えば、a1 = 1 から計算を始め、次の項を求めていきます。

数値をプロットしていくと、数列が収束していく様子が確認できるでしょう。これにより、漸化式の収束性を感覚的に理解することができます。

収束した場合の極限値の求め方

収束が確認できた場合、数列の極限値aを求めるためには、上記の漸化式を解く必要があります。具体的には、a = 1 + 1 / (1 + a) という方程式を解きます。この方程式を解くことで、aの値を求めることができます。

計算を進めると、a = (1 + √5) / 2 という値が得られ、これは黄金比として知られる数です。このように、漸化式を解くことで数列の極限値を求めることができます。

まとめ

この問題では、与えられた漸化式を使って数列が収束するかどうかを確認し、収束した場合の極限値を求める方法について解説しました。収束の確認には数値計算を使用し、収束後は漸化式を解くことで極限値を求めることができました。数列の収束性と極限値を求める方法は、数学の重要な概念の一つであり、様々な問題に応用できます。