この問題では、放物線と接線、そしてx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。与えられた放物線は、f(x) = x² – 2x + 4という関数で、t = 4のときの接線を求め、そこから面積を計算します。解法の過程を順を追って解説していきます。
ステップ1: 放物線の方程式と点Pの座標
まず、与えられた放物線Cは、y = f(x) = x² – 2x + 4という式です。この放物線上の点Pの座標は、P(t, t² – 2t + 4)となります。ここで、t = 4の場合の点Pの座標を求めてみましょう。
P(4)のy座標は、f(4) = 4² – 2(4) + 4 = 16 – 8 + 4 = 12です。したがって、点Pの座標は(4, 12)です。
ステップ2: 接線の方程式
次に、点P(4, 12)における放物線の接線lの方程式を求めます。接線の方程式は、次の形で表されます。
y – y₁ = m(x – x₁)
ここで、(x₁, y₁)は点Pの座標(4, 12)、mは接線の傾きです。接線の傾きmは、放物線の導関数f'(x)を使って求めます。
f(x) = x² – 2x + 4の導関数は、f'(x) = 2x – 2です。点P(4, 12)での傾きを求めるために、f'(4)を計算します。
f'(4) = 2(4) – 2 = 8 – 2 = 6です。したがって、接線の傾きは6となります。
接線の方程式は、次のようになります。
y – 12 = 6(x – 4)
y – 12 = 6x – 24
y = 6x – 12
ステップ3: 接線とx軸、y軸との交点
次に、接線とx軸、y軸との交点を求めます。
x軸との交点
x軸との交点では、y = 0となります。したがって、接線の方程式にy = 0を代入してxを求めます。
0 = 6x – 12
6x = 12
x = 2
したがって、接線とx軸の交点は(2, 0)です。
y軸との交点
y軸との交点では、x = 0となります。接線の方程式にx = 0を代入してyを求めます。
y = 6(0) – 12 = -12
したがって、接線とy軸の交点は(0, -12)です。
ステップ4: 囲まれる部分の面積
次に、接線と放物線、x軸、y軸によって囲まれる部分の面積を求めます。面積は三角形の面積と、放物線と接線の間の面積を合計することで求めます。
三角形の面積
三角形の底辺はx軸との交点(2, 0)までの長さで、2となります。高さはy軸との交点(0, -12)からx軸までの長さで、12となります。三角形の面積は、次のように計算できます。
面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ = 1/2 × 2 × 12 = 12
放物線と接線で囲まれる面積
放物線と接線で囲まれる面積は、放物線のグラフと接線の間にできる領域の面積です。この面積は、放物線の方程式と接線の方程式の差を積分して求めます。
面積 = ∫(接線の方程式 – 放物線の方程式) dx
計算すると、この面積は16/3となります。
最終的な面積
したがって、最終的に求められる面積は三角形の面積12と、放物線と接線で囲まれる面積16/3を足したものになります。
最終的な面積 = 12 + 16/3 = 36/3 + 16/3 = 28/3
これが、求める面積となります。
まとめ
この問題では、放物線と接線、x軸、y軸が囲む面積を求める方法を順を追って解説しました。放物線と接線、そして三角形の面積をそれぞれ計算することで、最終的に求める面積28/3を導き出しました。
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