数学的帰納法を使った等式の証明方法：n(n+1)の合計の証明

数学的帰納法を使って、与えられた等式 1·2 + 2·3 + 3·4 + … + n(n+1) = 1/3n(n+1)(n+2) を証明する方法について解説します。この問題は、まず帰納法の初期条件を確認し、次に一般的な形で証明を進める方法です。

数学的帰納法の基本

数学的帰納法とは、ある命題が全ての自然数nについて成り立つことを示すための手法です。まず、n = 1の場合に命題が成り立つことを証明し、その後、n = kの時に成り立つと仮定し、n = k + 1の時も成り立つことを示します。この手法を使って、一般的な数式の証明を進めます。

まず、与えられた等式がn = 1の場合に成立するかを確認します。n = 1の時、左辺は1·2 = 2、右辺は1/3·1·2·3 = 2となり、成立します。次に、帰納法の仮定として、n = kの時に式が成り立つと仮定します。

次に、n = k + 1の場合を証明します。帰納法の仮定に基づき、n = kの時の左辺は1/3k(k+1)(k+2)であり、これに(k + 1)((k + 1) + 1)を足します。これを展開し、最終的に右辺と一致するように計算します。

左辺の式は、帰納法の仮定を利用して次のように書き換えられます。

1/3k(k+1)(k+2) + (k + 1)(k + 2)

これを展開すると、式の右辺が 1/3(k + 1)(k + 2)(k + 3) という形になります。これにより、n = k + 1の場合でも証明が成り立つことが示され、帰納法により全ての自然数nに対して成り立つことが確認できます。

数学的帰納法を使った証明の過程を通じて、与えられた等式が全ての自然数nについて成り立つことを示しました。式の展開と変形を繰り返し、帰納法の仮定を基にして証明を進めることができました。この手法を使えば、他の類似の問題にも適用することができます。