線形写像の合成に関する問題で、「f⚪︎(g+h) ＝ f⚪︎g + f⚪︎h」が成り立つかどうかという疑問があります。この記事では、この問題について解説し、線形写像の合成における分配法則がなぜ成り立つのかを詳しく説明します。
線形写像とは？
線形写像とは、ベクトル空間の間で定義される写像であり、以下の2つの条件を満たします。
- 加法に関して線形である：f(u + v) = f(u) + f(v)
- スカラー倍に関して線形である：f(λu) = λf(u)
これらの性質を持つ写像が線形写像であり、線形代数で重要な役割を果たします。
合成写像の分配法則
与えられた問題では、f、g、hがすべて線形写像であるとき、次の式が成り立つかを尋ねています。
f⚪︎(g + h) = f⚪︎g + f⚪︎h線形写像の合成において、この式は分配法則が成り立つかどうかを確認するものです。実際、この法則は線形写像において成り立ちます。
分配法則が成り立つ理由
線形写像の合成において分配法則が成り立つ理由は、線形写像が加法とスカラー倍に対して線形であることに基づいています。具体的には、g + hという写像に対して、fを合成すると、f(g + h)は次のように展開できます。
f⚪︎(g + h) = f(g + h) = f(g) + f(h)これは、線形写像の加法に関しての性質を利用した結果です。したがって、f⚪︎(g + h) = f⚪︎g + f⚪︎hが成り立つのです。
実例での確認
実際に、具体的な線形写像f、g、hを使ってこの法則を確認することができます。例えば、f(x) = 2x、g(x) = x、h(x) = -xという線形写像を考えてみましょう。このとき、次のように計算できます。
f⚪︎(g + h)(x) = f(g(x) + h(x)) = f(x + (-x)) = f(0) = 0また、f⚪︎g(x) + f⚪︎h(x)を計算すると。
f⚪︎g(x) + f⚪︎h(x) = f(x) + f(-x) = 2x + 2(-x) = 0このように、両方の計算結果が一致することが確認でき、分配法則が成り立つことが分かります。
まとめ
線形写像における合成の分配法則は、加法とスカラー倍に対して線形であるという線形写像の性質に基づいています。これにより、f⚪︎(g + h) = f⚪︎g + f⚪︎hが成り立つことが確認できました。線形写像の合成において、分配法則が成立するのはこの基本的な性質によるものです。
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