微分方程式の解法：y(2y + xy')² = y'²

微分方程式の解法について、次の問題に取り組みます。与えられた方程式は「y(2y + xy’)² = y’²」です。この式を解く方法について、手順を追って解説します。

方程式の整理

まず、与えられた方程式を整理します。式は次のようになっています。

y(2y + xy’)² = y’²

ここで、y’をyの導関数として扱います。まずは、(2y + xy’)²を展開し、その後に方程式を簡単にすることを目指します。

(2y + xy’)²を展開すると、次のようになります。

(2y + xy’)² = 4y² + 4xyy’ + x²y’²

したがって、元の式は次のようになります。

y(4y² + 4xyy’ + x²y’²) = y’²

これを更に展開し、整理していきます。次に、全ての項を一つにまとめるために、y’を使って式を再配置します。

上記の式を整理すると、次のような形になります。

4y³ + 4xy²y’ + x²yy’² = y’²

この式を解くためには、y’を含む項を左辺にまとめ、さらにy’に関する方程式として解く必要があります。この部分は計算に少し時間がかかりますが、y’について解くと最終的に解が得られます。

微分方程式の解法には、方程式の展開、整理、そして適切な変形が重要です。与えられた方程式を解くために、適切な数学的操作を行うことで、最終的な解にたどり着きます。問題を解く際は、計算過程を丁寧に追うことが解法の鍵となります。