sin^2(θ/2)とcos^2(θ/2)の関係と極限の求め方

この問題では、三角関数の公式を使った式変形の理解と、幾何学的な問題を解く方法について学びます。特に、sin^2(θ/2)とcos^2(θ/2)の関係についての理解と、それを用いた極限の計算方法について解説します。

sin^2(θ/2) = 4(1 – cos^2(θ/2))の意味

まず、式「4sin^2(θ/2) = 4(1 – cos^2(θ/2))」が成り立つ理由を説明します。これは三角関数の恒等式に基づいています。実際、sin^2(θ/2)を展開すると次のようになります。

sin^2(θ/2) = 1 – cos^2(θ/2)です。この式は、「1 – cos^2(θ/2)」という形で表現されることが多く、三角関数の基本的な性質に由来しています。したがって、sin^2(θ/2)を4倍した形は、4(1 – cos^2(θ/2))という形に簡単に変形できるわけです。

なぜcosが出てくるのか疑問に思うかもしれませんが、これは三角関数の間で自然に現れる関係です。特に、三角形の内角がθであるとき、その余弦の値と正弦の値は密接に関係しています。具体的には、sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1というピタゴラスの定理に基づいています。

したがって、sin^2(θ/2)をcosを使って表すことで、より簡単に式を変形できる場合があります。

次に、問題の後半部分で求められている極限「lim(θ→0) (CD/AB^2)」について考えます。まず、この問題は幾何学的な問題であり、点C、D、A、Bの位置関係を理解することが重要です。

点Cは弧ABを2等分する点であり、点Dは線分OCと弦ABの交点です。この幾何学的構造から、極限の計算が求められています。極限の計算を行うためには、まず線分CDとABの長さを明確に定義し、その比をθが0に近づくときにどうなるかを考えます。

具体的には、θが小さい時、三角関数の近似を用いて計算を進めます。例えば、sin(θ) ≈ θ、cos(θ) ≈ 1 – θ^2/2という近似式を使うことで、問題が簡単になります。これをもとに、極限を計算することで解答に到達します。

今回の問題では、sin^2(θ/2)とcos^2(θ/2)の関係を理解し、それを用いて式を変形する方法を学びました。また、幾何学的な問題を解くために、三角関数の近似を利用することの重要性も確認しました。これらの知識を身につけることで、より複雑な数学的な問題にも対応できるようになります。