高1の数学で出題される「最短経路」の問題は、特に組み合わせに関する問題が多いです。この質問では、縦4マス、横5マスの格子の中で、右上から左下までの最短経路の総数を求める問題が出ています。問題を解くためには、まず組み合わせの考え方を理解する必要があります。では、なぜ最短経路の総数が9!/(4!5!)になるのかを順を追って解説します。
問題の設定
縦4マス、横5マスの格子を考えたとき、右上から左下に向かって最短経路を求める問題です。この場合、最短経路とは、縦に4回、横に5回進む経路になります。具体的には、縦方向（↑）に4回進み、横方向（→）に5回進む必要があります。
最短経路の総数の求め方
最短経路を求める方法は、縦方向と横方向の移動を組み合わせる問題に置き換えることができます。縦方向の移動を4回、横方向の移動を5回、合計9回の移動において、どの4回を縦方向の移動に使うか、という問題です。
つまり、9回の移動の中から4回を縦方向の移動に割り当てる方法の数を求めることになります。この場合、4回の縦移動を9回の中から選ぶ組み合わせの数が求めるべき値です。したがって、この数は「9個の中から4個を選ぶ組み合わせ」となり、数式で表すと「9C4」になります。
組み合わせの計算式
組み合わせの計算式は次のようになります。
9C4 = 9! / (4! × (9 – 4)!) = 9! / (4! × 5!)
この式を用いることで、最短経路の総数が9!/(4!5!)であることがわかります。ここで、「!」は階乗を意味します。階乗とは、例えば「5!」は「5 × 4 × 3 × 2 × 1」の計算となります。
まとめ
このように、最短経路の総数を求める問題は、組み合わせの問題として捉えることができます。最短経路の総数は、移動する方向の回数をどの順番で並べるかを考えることで、組み合わせの数として求めることができます。9!/(4!5!)という式が出てきた理由は、9回の移動のうち4回を縦に選び、残りの5回を横に選ぶという計算から来ています。この考え方を理解して、次回のテストにも活かしてください。
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