数学Ⅱの問題で、直線と円の交点によって切り取られる線分の長さとその中点の座標を求める問題があります。この記事では、直線y＝2x－1と円x²+y²-2(x+y)=0の交点を求め、その線分の長さと中点の座標を計算する方法について、わかりやすく解説します。
問題の設定
問題では、次のような直線と円の式が与えられています。
直線: y = 2x - 1円の方程式は。
x² + y² - 2(x + y) = 0まずは、円の方程式を整理して、交点を求めます。
円の方程式の整理
円の方程式をまず整理します。
x² + y² - 2x - 2y = 0これを次のように変形できます。
(x - 1)² + (y - 1)² = 2これは、中心(1, 1)で半径√2の円を表しています。
直線と円の交点を求める
次に、直線の方程式を円の方程式に代入して交点を求めます。直線の方程式y = 2x – 1を円の方程式に代入します。
x² + (2x - 1)² - 2x - 2(2x - 1) = 0この式を展開すると。
x² + (4x² - 4x + 1) - 2x - 4x + 2 = 0これを整理すると。
5x² - 6x + 3 = 0この2次方程式を解くことで、交点のx座標を求めます。
交点の座標の計算
2次方程式5x² – 6x + 3 = 0を解くために、判別式Δを使います。
Δ = (-6)² - 4(5)(3) = 36 - 60 = -24判別式が負であるため、実数解は存在しません。この場合、交点は実数解ではないため、実際にはこの直線と円は交わらないことがわかります。
まとめ
今回の問題では、直線と円の交点を求めるために円の方程式を整理し、直線の方程式を代入して交点の座標を求めました。しかし、計算結果から交点が存在しないことがわかりました。このような問題では、交点の存在を確認するために、まずは方程式を整理し、解の有無を確かめることが重要です。
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