数学の世界には、直感的に理解するのが難しい概念がいくつかあります。その一つが「1=0.999…」という式です。文系の方にとって、この式がなぜ正しいのか納得できない方も多いかもしれません。この記事では、この式が正しい理由を、できるだけわかりやすく解説します。
0.999…とは何か？
「0.999…」とは、0.9が無限に続く小数のことです。これは単なる近似値ではなく、厳密に言うと「無限に続く9」と考えられています。しかし、この無限に続く9があると、最初に思い浮かぶ疑問は「これは本当に1と同じなのか？」ということです。
実は、この「0.999…」は1と完全に一致する数値なのです。最初は納得できないかもしれませんが、以下の方法でその理由を説明します。
簡単な数式で説明してみよう
まず、0.999…が1に等しいことを、簡単な計算で証明してみましょう。まず、x = 0.999…とおきます。
x = 0.999...次に、この式を10倍してみます。
10x = 9.999...次に、最初の式（x = 0.999…）を10倍した式（10x = 9.999…）から引き算をしてみます。
10x - x = 9.999... - 0.999...これを計算すると、左辺は9x、右辺は9になります。したがって、次の式が成り立ちます。
9x = 9ここで、両辺を9で割ると、x = 1 となり、最初の仮定が正しいことがわかります。
無限小数と実数の違い
「0.999…」は無限小数ですが、実は数学的に言うと、これは「1」に非常に近い数であり、最終的には1に到達する数として解釈されます。無限小数の性質を理解するためには、数列の収束という概念が重要です。
無限に続く9は、0.999…という数列の一部であり、この数列は実際には1に収束しているのです。したがって、0.999…は1と等しいという結論になります。
直感的な理解方法
もし、無限小数や収束の概念が難しいと感じる場合は、直感的に考える方法もあります。例えば、0.9, 0.99, 0.999…と増えていく数を見てみましょう。それぞれの数は1にどんどん近づいていきます。そして、0.999…は、その途中の数が無限に続いているだけで、結局1に達するというわけです。
このように考えると、0.999…が1に等しい理由が少しずつ理解できるかもしれません。
まとめ
「1=0.999…」という式は、無限小数の性質に関する非常に面白い問題です。最初は直感に反するかもしれませんが、数学的な証明を通じて、その正しさが明確にわかります。無限小数や収束の概念を理解することで、より深く数学を楽しむことができるでしょう。
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