統計学の基本問題：共分散、相関係数、回帰直線の計算方法

統計学における基本的な計算問題を解く方法について解説します。特に、共分散、相関係数、回帰直線の回帰係数などについて、具体的なデータを用いて解説します。

1. 共分散の求め方

共分散は、2つの変数間の関係を示す統計量です。共分散は次の式で求めます。

共分散 = (Σ(Xi – X̄)(Yi – Ȳ)) / n

ここで、Xi と Yi は各データの値、X̄ と Ȳ はそれぞれの変数の平均、n はデータの個数です。

この問題における計算方法に従い、共分散を求めると、値が得られます。

相関係数は、2つの変数の間にどれだけ強い線形関係があるかを示します。相関係数は次の式で求めます。

相関係数 = 共分散 / (標準偏差(X) * 標準偏差(Y))

ここで、標準偏差は各変数のばらつきを示す指標です。共分散を標準偏差で割ることで、相関の強さが求められます。

回帰直線 Y = a + bX の回帰係数bは、次の式で求めます。

b = 共分散(X, Y) / 分散(X)

この式に従って、最小二乗法を用いて回帰係数bを計算します。

回帰直線の切片aは、次の式で求めます。

a = Ȳ – b * X̄

ここで、X̄ はXの平均、Ȳ はYの平均です。この計算でaの値が求められます。

回帰直線の決定係数R²は、モデルがどれだけデータに適合しているかを示します。R²は次の式で求めます。

R² = 1 – (残差平方和 / 全平方和)

ここで、残差平方和はモデルで予測された値と実際の値の差の平方の合計です。

新しい変数u = 4X + 3とv = -2Y + 10について、共分散を求めます。共分散の計算においては、変数の係数が影響を与えるため、計算式が少し変更されます。

uとvの相関係数は、共分散をそれぞれの標準偏差で割ることで求めます。

新しい変数zについて、その平均値は次の式で求めます。

zの平均 = 2 * X̄ – 3 * Ȳ

変数zの分散は、次の式を使って求めます。

zの分散 = 4 * 分散(X) + 9 * 分散(Y) – 12 * 共分散(X, Y)

このように、統計学における共分散、相関係数、回帰直線の計算方法は、データ間の関係を理解する上で非常に重要です。具体的な問題を解くことで、これらの統計量をどのように計算するかを学ぶことができます。