中学2年生の数学の問題を解説します。今回は、正四角錐と正四角柱の体積が等しいとき、正四角柱の高さが正四角錐の高さの何倍になるかを求めます。文字式を使って解き、図を使ってわかりやすく説明します。
1. 問題の理解
まず、問題を整理しましょう。問題文では、正四角錐と正四角柱の体積が等しいとあります。さらに、正四角柱の底面の正方形の一辺の長さは、正四角錐の底面の正方形の一辺の長さの半分であると言っています。この条件をもとに、正四角柱の高さが正四角錐の高さの何倍かを求めます。
2. 正四角錐の体積
正四角錐の体積は、次の式で求めることができます。
V = 1/3 × 底面積 × 高さ
底面が正方形なので、底面積は一辺の長さをaとしたとき、a²となります。よって、正四角錐の体積は次のようになります。
V = 1/3 × a² × h₁
ここで、aは正四角錐の底面の一辺の長さ、h₁は正四角錐の高さです。
3. 正四角柱の体積
次に、正四角柱の体積を求めます。正四角柱の体積は、次の式で求めることができます。
V = 底面積 × 高さ
底面積は正方形なので、一辺の長さをbとしたとき、b²となります。よって、正四角柱の体積は次のようになります。
V = b² × h₂
ここで、bは正四角柱の底面の一辺の長さ、h₂は正四角柱の高さです。
4. 体積が等しいことから式を立てる
問題文によると、正四角錐と正四角柱の体積は等しいので、以下の式が成り立ちます。
1/3 × a² × h₁ = b² × h₂
また、bはaの半分であると与えられているので、b = a/2です。この関係を式に代入すると、以下のようになります。
1/3 × a² × h₁ = (a/2)² × h₂
これをさらに整理すると、
1/3 × a² × h₁ = (a²/4) × h₂
ここでa²を両辺からキャンセルすると、
1/3 × h₁ = h₂/4
5. 高さの関係を求める
この式をh₂について解くと、
h₂ = 4/3 × h₁
したがって、正四角柱の高さh₂は、正四角錐の高さh₁の4/3倍であることがわかります。
6. まとめ
正四角錐と正四角柱の体積が等しいとき、正四角柱の高さは正四角錐の高さの4/3倍であることがわかりました。文字式を使って、与えられた条件を元に計算する方法を理解することができました。
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