長方形の囲いの面積が12m²以上になる縦の長さの範囲について

この問題では、長さ16mのロープを使って長方形の囲いを作る場合、囲いの面積が12m²以上となる縦の長さの範囲を求めるという内容です。問題の解説を通して、どのようにして範囲を求めるかを順を追って説明します。

問題の設定と条件

ロープの長さが16mで、長方形の囲いを作ることになっています。このとき、囲いの面積が12m²以上となるためには、縦の長さがどのような範囲であればよいのでしょうか。

長方形の周の長さと面積の関係

長方形の周囲の長さは、ロープの長さと同じですから、長さ16mとなります。長方形の縦の長さをxとおくと、横の長さは(16 – 2x)となります（長方形の周の長さは2倍の縦と横の合計です）。そのため、長方形の面積は以下のように表せます。

面積 = 縦 × 横 = x × (16 – 2x)

面積が12m²以上になる条件

面積が12m²以上になる条件を求めるために、上記の式を使って不等式を立てます。

x × (16 – 2x) ≥ 12

この不等式を解くことで、縦の長さxの範囲を求めます。まず、不等式を展開して整理します。

16x – 2x² ≥ 12

2x² – 16x + 12 ≤ 0

この二次不等式を解くと、xの範囲が求まります。

解法と範囲の求め方

2x² – 16x + 12 ≤ 0 の解を求めるために、解の公式を使います。

x = [-(-16) ± √((-16)² – 4×2×12)] / 2×2

x = [16 ± √(256 – 96)] / 4

x = [16 ± √160] / 4

x = [16 ± 4√10] / 4

x = 4 ± √10

したがって、x の範囲は 0 < x ≤ 4 となります。

まとめ

今回の問題では、ロープを使って長方形の囲いを作る際、囲いの面積が12m²以上となる縦の長さの範囲は 0 < x ≤ 4 となることが分かりました。解答に「＝」がつく理由は、不等式を解いた結果、x の上限が4であり、x は4以下でも成立するためです。このような問題では、条件を満たす範囲を正確に求めることが重要です。