微分方程式の一般解の求め方と例題解説

微分方程式の解法は数学の重要なテーマの一つです。このページでは、いくつかの微分方程式の一般解を求める方法を、具体的な問題を通じて解説します。

問題(1) dy/dx = 2x / (x² + 1) の解法

まず、この微分方程式は分離可能な形に見えます。dy/dx = 2x / (x² + 1) を解くために、両辺を変数xで積分します。

式は次のように表されます。

∫ dy = ∫ (2x / (x² + 1)) dx

右辺の積分を行うと、標準的な積分公式 ∫ (2x / (x² + 1)) dx = ln(x² + 1) が使えます。よって、解は次のようになります。

y = ln(x² + 1) + C です。

次に、x * dy/dx + y = sin(x) という微分方程式を解きます。この方程式は、線形の1階微分方程式の形をしています。まず、同じ形の微分方程式を解くために、積分因子を用います。

方程式を x * dy/dx + y = sin(x) として、積分因子を μ(x) = x と仮定します。これにより、方程式を次のように変換できます。

μ(x) * y = μ(x) * sin(x)

積分因子を使うことで、解を求めるために積分を行い、最終的に解は y = x * sin(x) – x + C となります。

最後に、dy/dx = f(y/x) の形の微分方程式を解きます。この問題では、u = y/x という変数変換を用います。この変数変換を行うことで、方程式は変数uのみの形になります。

u = y / x とおいて、dy/dx の式を u に関する微分に変換し、これを積分します。この方法により、一般解を求めることができます。解法の詳細は、適切な積分手法に基づいて進めていきます。

このページでは、いくつかの微分方程式の一般解を求める方法を解説しました。微分方程式の解法には、分離可能な形にしたり、積分因子を使ったり、変数変換を行ったりといった方法があります。これらのテクニックを使いこなすことで、さまざまな微分方程式を解くことができます。