自然数の逆数の和が発散する証明

自然数の逆数の和が発散することは、数学的に非常に重要な概念であり、無限級数に関する基本的な結果の1つです。この証明を通じて、級数の発散についての理解を深めましょう。

自然数の逆数の和とは？

自然数の逆数の和とは、次のような無限級数を指します。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … といった形で、自然数の逆数を足し合わせたものです。これを数学的に表すと、次のようになります。

Σ (1/n) (n=1から無限大) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

発散とは、無限級数の和が有限の数に収束せず、無限大に近づいていくことを意味します。自然数の逆数の和が発散するとは、この級数の和が無限大に向かって増加し続けることを示しています。

級数が発散する場合、その和は無限に大きくなるため、特定の値に収束することはありません。したがって、この級数の和は、無限に足し続けても決して有限の数にはならないことが証明されます。

自然数の逆数の和が発散することを証明するために、次のように考えます。

まず、自然数の逆数の和が収束するためには、各項が十分小さくなり、無限に加算されるものが最終的に収束する必要があります。しかし、実際には、この和が無限に増加していくことが分かります。

より具体的な証明方法として、次のような比較テストを用います。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … の最初の部分を次のようにグループ化します： (1) + (1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + …
各グループ内の項は、それぞれ次のように増加していきます： (1) は 1、(1/2) は 1/2、(1/3 + 1/4) は 1/4 より大きいなど。
このグループを適切に選ぶと、無限級数が発散することが明らかになります。

このように、自然数の逆数の和は次第に大きな値に増加し続けるため、無限大に向かって発散することが示されます。