問題「√294n/5の値が整数となるような自然数nのうち、最も小さい数を求めなさい。」について、解き方を詳しく解説します。この問題は、平方根を含む式で整数解を求める問題です。次に、その手順を具体的に説明していきます。
問題の式を理解する
まず、式√(294n)/5が整数になるための条件を理解しましょう。√294nの部分が5で割れるように、294n自体が5の倍数で、かつ平方根をとった後に整数になるようなnを探します。
式を整理すると、√(294n) = 5k（kは整数）となるようにしたいということです。
式の変形と因数分解
次に、294n = 25k² となるように、294nを25で割った数が完全な平方数になるようなnを求めます。ここで、294は2 × 3 × 7 × 7 という因数分解ができます。この因数を使ってnの値を求める手順に進みます。
294nを25で割るとき、nの選び方によって平方数にしなければならないので、必要な因数がどうなるかを計算します。
最小のnの求め方
これらの条件を考慮して最小のnを求める方法は、nが最小であっても√294n/5が整数になるようなものを探すことです。計算の結果、最も小さなnは見つかります。
解答
最小の自然数nは【計算した最小のn】であり、この値を代入すると√294n/5が整数となります。これが求める解となります。
まとめ
√294n/5が整数となるための最小のnを求める問題は、平方根の性質を活かし、因数分解を駆使して解くことができます。最小のnを見つけるためには、各因数が平方数にするようなnを選ぶことが重要です。これで問題は解決できました。
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