方程式X^4 + 4X^2 - 5 = 0の解法：複素数を用いた解法

この方程式X^4 + 4X^2 – 5 = 0は、複素数の範囲で解く問題です。問題を解くためには、まずこの方程式を変形し、二次方程式にして解く方法が有効です。この記事では、その手順を具体的に説明します。

方程式の変形

まず、与えられた方程式X^4 + 4X^2 – 5 = 0を二次方程式の形に変形します。X^4をX^2の二乗として扱うことで、次のように置き換えます。

y = X^2 と置くと、方程式は次のようになります：
y^2 + 4y – 5 = 0

これで、yについての二次方程式が得られました。

次に、この二次方程式を解きます。二次方程式は、一般に解の公式を使って解けます。解の公式は次の通りです。

y = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a

ここで、a = 1, b = 4, c = -5 ですので、これを代入して計算します。

y = (-4 ± √(4^2 – 4 × 1 × (-5))) / (2 × 1)

y = (-4 ± √(16 + 20)) / 2

y = (-4 ± √36) / 2

y = (-4 ± 6) / 2

y = 1 または y = -5

y = X^2 なので、y = 1 の場合、X^2 = 1 となります。これを解くと、X = ±1 です。

次に、y = -5 の場合、X^2 = -5 となり、この解は複素数の解です。X = ±√(-5) となり、X = ±√5i です。ここで、i は虚数単位です。

これらをまとめると、方程式X^4 + 4X^2 – 5 = 0の解は次の通りです。

この方程式の解法では、まずX^2 = yと置き換えて二次方程式に変形し、解の公式を用いて解く方法を説明しました。最終的に、実数解と複素数解の両方が得られました。複素数の解が出てくる場合もあり、解の範囲を広げることができます。