この問題では、円の上にある点Pと、与えられた点A(-2,1)、点B(-1,0)を頂点とする三角形△PABの面積を最大化する点Pの座標と、そのときの面積を求めます。解法を順を追って説明します。
問題の理解と設定
問題のポイントは、円 x^2 + y^2 = 9 の上にある点Pと、与えられた点A(-2,1)、点B(-1,0)を使って三角形△PABの面積を最大にすることです。円 x^2 + y^2 = 9 は、原点を中心とする半径3の円を表します。この円上に点Pがあるという条件を踏まえて、△PABの面積を最大化する方法を考えます。
三角形の面積を求める公式
三角形の面積は、2つのベクトルを使って求めることができます。具体的には、次のように計算します。
面積 = 1/2 × |ベクトルPA × ベクトルPB|
ここで、ベクトルPAとベクトルPBはそれぞれ、点Pから点A、点Pから点Bへのベクトルです。
最大面積の条件
面積が最大になるのは、ベクトルPAとベクトルPBが直角になるときです。つまり、ベクトルPAとベクトルPBの内積が0になるときに面積が最大となります。このため、点Pが直角を作る位置に来るように求めます。
具体的に、ベクトルPA = (x+2, y-1) とベクトルPB = (x+1, y) とおいて、内積が0になる条件を導きます。
最大面積となる点Pの座標
ベクトルPAとベクトルPBの内積が0になるように計算すると、点Pの座標が求められます。この座標が、△PABの面積を最大にする点Pの位置です。
最大面積を求める
点Pの座標が求まったら、その座標を使って面積を計算します。面積の式に代入することで、最大面積を求めることができます。
まとめ
この問題は、円上の点Pを使って三角形の面積を最大化する問題です。ベクトルを使った面積の求め方と、内積を使った最大化の方法を学ぶ良い例です。点Pの座標を求め、そのときの面積を計算することで問題が解けます。
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