高校数学の問題：9x^9+1をx-1で割った余りの求め方

今回は、高校数学の問題「9x^9 + 1をx – 1で割った余りを求め、さらにx² – 1で割った余りを求める方法」を解説します。問題文にあるように、まずx – 1で割った余りを求め、その結果をもとにx² – 1で割った余りを求めるという問題です。これをどう解くのか、詳細に説明します。

問題の理解

問題は次の内容です。

まず、これらの余りを求めるためには、多項式の割り算を行う必要があります。まずは、x – 1で割った余りを求める方法から始めます。

まずは、x – 1で割った余りを求めるために、代入法を使用します。多項式の余り定理を利用することで、x – 1で割った余りは、x = 1を代入することで得られます。

式：9x^9 + 1 に x = 1 を代入します。

9(1)^9 + 1 = 9 + 1 = 10 となります。

したがって、x – 1で割った余りは 10 です。

次に、x² – 1 で割った余りを求めるためには、x² – 1 = (x – 1)(x + 1) という因数分解を利用します。

このため、x – 1 で割った余りが分かっているので、次に x + 1 で割った余りを求めます。

x = -1 を代入すると、9(-1)^9 + 1 = -9 + 1 = -8 となります。

したがって、x + 1 で割った余りは -8 です。

よって、x² – 1 で割った余りは、x – 1 で割った余り 10 と、x + 1 で割った余り -8 を使って次のように求めます。

10x + (-8) = 10x – 8

9x^9 + 1 を x – 1 で割った余りは 10、x² – 1 で割った余りは 10x – 8 となります。この問題の解き方を理解することで、多項式の割り算のテクニックが身につきます。筆算で解くときもこの方法を参考にしてみてください。