大人と子どもを選ぶ組み合わせ問題：なぜ3C1×5C2になるのか

「大人3人、子ども5人の中から、各々2人の大人と3人の子どもを選ぶ方法」の問題で、答えが3C2×5C3ではなく、3C1×5C2になる理由がわからないという質問について解説します。この記事では、組み合わせの基本的な考え方と、なぜこのような式が成立するのかをわかりやすく説明します。

組み合わせの基本的な考え方

組み合わせとは、順番を考慮せずに、一定の数の要素を選ぶ方法のことです。例えば、3人の中から2人を選ぶ方法は、順番を気にせずに選べるので、3C2という記号を使って表現します。

組み合わせの式は、n人の中からr人を選ぶ場合、nCr = n! / (r!(n – r)!)という式で求められます。この式を使うことで、どれだけの組み合わせが可能かを計算できます。

問題では、大人3人から2人を選び、子ども5人から3人を選ぶ方法を求めています。大人から2人を選ぶ場合、3人の中から2人を選ぶ方法は3C2通りです。次に、子ども5人から3人を選ぶ場合、5人の中から3人を選ぶ方法は5C3通りです。

したがって、大人2人と子ども3人を選ぶ方法は、3C2 × 5C3通りとなります。この式は基本的に独立した2つの選択（大人の選択と子どもの選択）を掛け合わせたものです。

質問者が疑問に思っているのは、なぜ3C2×5C3ではなく3C1×5C2になるのかという点です。実は、この疑問の解決には問題文の解釈が重要です。もし選び方が、例えば「1人の大人と2人の子ども」を選ぶような設定であれば、式が3C1 × 5C2に変わる理由がわかります。

たとえば、大人1人と子ども2人を選ぶ場合、大人は3人の中から1人選び、子どもは5人の中から2人選ぶという考え方です。このように、大人の選択が3C1、子どもの選択が5C2になるのです。

この問題では、大人と子どもを選ぶ際に、どちらを先に選ぶか、また選び方の組み合わせが重要になります。3C2×5C3は、両方とも3人と5人の中からそれぞれの人数を選ぶ標準的な問題です。しかし、条件が変われば、式の形も変わります。

選択肢を分けて考えることが、問題を解く上で非常に重要であり、具体的な選択方法を明確にすることが解答を導く鍵です。

組み合わせの問題では、どのように選択肢を分けるかが重要です。大人3人から2人を選び、子ども5人から3人を選ぶ場合は、3C2×5C3の式が成立しますが、別の条件（例えば、大人1人と子ども2人を選ぶ場合）では、3C1×5C2が成立することになります。

組み合わせの計算においては、問題文をよく読み、どのように選択を分けるかを明確にすることが解答への第一歩です。